3.5.9 \(\int \frac {\sqrt {f+g x}}{\sqrt {d+e x} (a+c x^2)} \, dx\)

Optimal. Leaf size=240 \[ \frac {\sqrt {\sqrt {c} f-\sqrt {-a} g} \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {d+e x} \sqrt {\sqrt {c} f-\sqrt {-a} g}}{\sqrt {f+g x} \sqrt {\sqrt {c} d-\sqrt {-a} e}}\right )}{\sqrt {-a} \sqrt {c} \sqrt {\sqrt {c} d-\sqrt {-a} e}}-\frac {\sqrt {\sqrt {-a} g+\sqrt {c} f} \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {d+e x} \sqrt {\sqrt {-a} g+\sqrt {c} f}}{\sqrt {f+g x} \sqrt {\sqrt {-a} e+\sqrt {c} d}}\right )}{\sqrt {-a} \sqrt {c} \sqrt {\sqrt {-a} e+\sqrt {c} d}} \]

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.34, antiderivative size = 240, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 6, number of rules used = 3, integrand size = 28, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.107, Rules used = {910, 93, 208} \begin {gather*} \frac {\sqrt {\sqrt {c} f-\sqrt {-a} g} \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {d+e x} \sqrt {\sqrt {c} f-\sqrt {-a} g}}{\sqrt {f+g x} \sqrt {\sqrt {c} d-\sqrt {-a} e}}\right )}{\sqrt {-a} \sqrt {c} \sqrt {\sqrt {c} d-\sqrt {-a} e}}-\frac {\sqrt {\sqrt {-a} g+\sqrt {c} f} \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {d+e x} \sqrt {\sqrt {-a} g+\sqrt {c} f}}{\sqrt {f+g x} \sqrt {\sqrt {-a} e+\sqrt {c} d}}\right )}{\sqrt {-a} \sqrt {c} \sqrt {\sqrt {-a} e+\sqrt {c} d}} \end {gather*}

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Sqrt[f + g*x]/(Sqrt[d + e*x]*(a + c*x^2)),x]

[Out]

(Sqrt[Sqrt[c]*f - Sqrt[-a]*g]*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[c]*f - Sqrt[-a]*g]*Sqrt[d + e*x])/(Sqrt[Sqrt[c]*d - Sqrt[-a]*
e]*Sqrt[f + g*x])])/(Sqrt[-a]*Sqrt[c]*Sqrt[Sqrt[c]*d - Sqrt[-a]*e]) - (Sqrt[Sqrt[c]*f + Sqrt[-a]*g]*ArcTanh[(S
qrt[Sqrt[c]*f + Sqrt[-a]*g]*Sqrt[d + e*x])/(Sqrt[Sqrt[c]*d + Sqrt[-a]*e]*Sqrt[f + g*x])])/(Sqrt[-a]*Sqrt[c]*Sq
rt[Sqrt[c]*d + Sqrt[-a]*e])

Rule 93

Int[(((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_))/((e_.) + (f_.)*(x_)), x_Symbol] :> With[{q = Denomin
ator[m]}, Dist[q, Subst[Int[x^(q*(m + 1) - 1)/(b*e - a*f - (d*e - c*f)*x^q), x], x, (a + b*x)^(1/q)/(c + d*x)^
(1/q)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && EqQ[m + n + 1, 0] && RationalQ[n] && LtQ[-1, m, 0] && SimplerQ[
a + b*x, c + d*x]

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rule 910

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)/(Sqrt[(f_.) + (g_.)*(x_)]*((a_.) + (c_.)*(x_)^2)), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegr
and[1/(Sqrt[d + e*x]*Sqrt[f + g*x]), (d + e*x)^(m + 1/2)/(a + c*x^2), x], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, f, g}, x] &
& NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && IGtQ[m + 1/2, 0]

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {\sqrt {f+g x}}{\sqrt {d+e x} \left (a+c x^2\right )} \, dx &=\int \left (\frac {\sqrt {-a} f-\frac {a g}{\sqrt {c}}}{2 a \left (\sqrt {-a}-\sqrt {c} x\right ) \sqrt {d+e x} \sqrt {f+g x}}+\frac {\sqrt {-a} f+\frac {a g}{\sqrt {c}}}{2 a \left (\sqrt {-a}+\sqrt {c} x\right ) \sqrt {d+e x} \sqrt {f+g x}}\right ) \, dx\\ &=\frac {1}{2} \left (\frac {a f}{(-a)^{3/2}}-\frac {g}{\sqrt {c}}\right ) \int \frac {1}{\left (\sqrt {-a}-\sqrt {c} x\right ) \sqrt {d+e x} \sqrt {f+g x}} \, dx+\frac {1}{2} \left (\frac {a f}{(-a)^{3/2}}+\frac {g}{\sqrt {c}}\right ) \int \frac {1}{\left (\sqrt {-a}+\sqrt {c} x\right ) \sqrt {d+e x} \sqrt {f+g x}} \, dx\\ &=\left (\frac {a f}{(-a)^{3/2}}-\frac {g}{\sqrt {c}}\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{\sqrt {c} d+\sqrt {-a} e-\left (\sqrt {c} f+\sqrt {-a} g\right ) x^2} \, dx,x,\frac {\sqrt {d+e x}}{\sqrt {f+g x}}\right )+\left (\frac {a f}{(-a)^{3/2}}+\frac {g}{\sqrt {c}}\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{-\sqrt {c} d+\sqrt {-a} e-\left (-\sqrt {c} f+\sqrt {-a} g\right ) x^2} \, dx,x,\frac {\sqrt {d+e x}}{\sqrt {f+g x}}\right )\\ &=\frac {\sqrt {\sqrt {c} f-\sqrt {-a} g} \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {\sqrt {c} f-\sqrt {-a} g} \sqrt {d+e x}}{\sqrt {\sqrt {c} d-\sqrt {-a} e} \sqrt {f+g x}}\right )}{\sqrt {-a} \sqrt {c} \sqrt {\sqrt {c} d-\sqrt {-a} e}}-\frac {\sqrt {\sqrt {c} f+\sqrt {-a} g} \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {\sqrt {c} f+\sqrt {-a} g} \sqrt {d+e x}}{\sqrt {\sqrt {c} d+\sqrt {-a} e} \sqrt {f+g x}}\right )}{\sqrt {-a} \sqrt {c} \sqrt {\sqrt {c} d+\sqrt {-a} e}}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 0.35, size = 229, normalized size = 0.95 \begin {gather*} \frac {\frac {\sqrt {\sqrt {-a} g-\sqrt {c} f} \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {d+e x} \sqrt {\sqrt {-a} g-\sqrt {c} f}}{\sqrt {f+g x} \sqrt {\sqrt {-a} e-\sqrt {c} d}}\right )}{\sqrt {\sqrt {-a} e-\sqrt {c} d}}-\frac {\sqrt {\sqrt {-a} g+\sqrt {c} f} \tanh ^{-1}\left (\frac {\sqrt {d+e x} \sqrt {\sqrt {-a} g+\sqrt {c} f}}{\sqrt {f+g x} \sqrt {\sqrt {-a} e+\sqrt {c} d}}\right )}{\sqrt {\sqrt {-a} e+\sqrt {c} d}}}{\sqrt {-a} \sqrt {c}} \end {gather*}

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Sqrt[f + g*x]/(Sqrt[d + e*x]*(a + c*x^2)),x]

[Out]

((Sqrt[-(Sqrt[c]*f) + Sqrt[-a]*g]*ArcTanh[(Sqrt[-(Sqrt[c]*f) + Sqrt[-a]*g]*Sqrt[d + e*x])/(Sqrt[-(Sqrt[c]*d) +
Sqrt[-a]*e]*Sqrt[f + g*x])])/Sqrt[-(Sqrt[c]*d) + Sqrt[-a]*e] - (Sqrt[Sqrt[c]*f + Sqrt[-a]*g]*ArcTanh[(Sqrt[Sq
rt[c]*f + Sqrt[-a]*g]*Sqrt[d + e*x])/(Sqrt[Sqrt[c]*d + Sqrt[-a]*e]*Sqrt[f + g*x])])/Sqrt[Sqrt[c]*d + Sqrt[-a]*
e])/(Sqrt[-a]*Sqrt[c])

________________________________________________________________________________________

IntegrateAlgebraic [C]  time = 172.25, size = 1248, normalized size = 5.20 \begin {gather*} -\sqrt {\frac {e}{g}} \text {RootSum}\left [c g^4 \text {$\#$1}^8-4 c d g^4 \text {$\#$1}^6-4 c e f g^3 \text {$\#$1}^6+6 c d^2 g^4 \text {$\#$1}^4+16 a e^2 g^4 \text {$\#$1}^4+4 c d e f g^3 \text {$\#$1}^4+6 c e^2 f^2 g^2 \text {$\#$1}^4-4 c d^3 g^4 \text {$\#$1}^2+4 c d^2 e f g^3 \text {$\#$1}^2+4 c d e^2 f^2 g^2 \text {$\#$1}^2-4 c e^3 f^3 g \text {$\#$1}^2+c e^4 f^4+c d^4 g^4-4 c d^3 e f g^3+6 c d^2 e^2 f^2 g^2-4 c d e^3 f^3 g\&,\frac {\log \left (-\text {$\#$1}-\sqrt {\frac {e}{g}} \sqrt {f+g x}+\sqrt {d+\frac {e (f+g x)}{g}-\frac {e f}{g}}\right ) \text {$\#$1}^4}{c g^3 \text {$\#$1}^6-3 c d g^3 \text {$\#$1}^4-3 c e f g^2 \text {$\#$1}^4+3 c d^2 g^3 \text {$\#$1}^2+8 a e^2 g^3 \text {$\#$1}^2+2 c d e f g^2 \text {$\#$1}^2+3 c e^2 f^2 g \text {$\#$1}^2-c e^3 f^3-c d^3 g^3+c d^2 e f g^2+c d e^2 f^2 g}\&\right ] g^4+\left (d^2 \sqrt {\frac {e}{g}} g^4-2 d e f \sqrt {\frac {e}{g}} g^3+e^2 f^2 \sqrt {\frac {e}{g}} g^2\right ) \text {RootSum}\left [c g^4 \text {$\#$1}^8-4 c d g^4 \text {$\#$1}^6-4 c e f g^3 \text {$\#$1}^6+6 c d^2 g^4 \text {$\#$1}^4+16 a e^2 g^4 \text {$\#$1}^4+4 c d e f g^3 \text {$\#$1}^4+6 c e^2 f^2 g^2 \text {$\#$1}^4-4 c d^3 g^4 \text {$\#$1}^2+4 c d^2 e f g^3 \text {$\#$1}^2+4 c d e^2 f^2 g^2 \text {$\#$1}^2-4 c e^3 f^3 g \text {$\#$1}^2+c e^4 f^4+c d^4 g^4-4 c d^3 e f g^3+6 c d^2 e^2 f^2 g^2-4 c d e^3 f^3 g\&,\frac {\log \left (-\text {$\#$1}-\sqrt {\frac {e}{g}} \sqrt {f+g x}+\sqrt {d+\frac {e (f+g x)}{g}-\frac {e f}{g}}\right )}{-c g^3 \text {$\#$1}^6+3 c d g^3 \text {$\#$1}^4+3 c e f g^2 \text {$\#$1}^4-3 c d^2 g^3 \text {$\#$1}^2-8 a e^2 g^3 \text {$\#$1}^2-2 c d e f g^2 \text {$\#$1}^2-3 c e^2 f^2 g \text {$\#$1}^2+c e^3 f^3+c d^3 g^3-c d^2 e f g^2-c d e^2 f^2 g}\&\right ]-2 \left (e f \sqrt {\frac {e}{g}} g^3-d \sqrt {\frac {e}{g}} g^4\right ) \text {RootSum}\left [c g^4 \text {$\#$1}^8-4 c d g^4 \text {$\#$1}^6-4 c e f g^3 \text {$\#$1}^6+6 c d^2 g^4 \text {$\#$1}^4+16 a e^2 g^4 \text {$\#$1}^4+4 c d e f g^3 \text {$\#$1}^4+6 c e^2 f^2 g^2 \text {$\#$1}^4-4 c d^3 g^4 \text {$\#$1}^2+4 c d^2 e f g^3 \text {$\#$1}^2+4 c d e^2 f^2 g^2 \text {$\#$1}^2-4 c e^3 f^3 g \text {$\#$1}^2+c e^4 f^4+c d^4 g^4-4 c d^3 e f g^3+6 c d^2 e^2 f^2 g^2-4 c d e^3 f^3 g\&,\frac {\log \left (-\text {$\#$1}-\sqrt {\frac {e}{g}} \sqrt {f+g x}+\sqrt {d+\frac {e (f+g x)}{g}-\frac {e f}{g}}\right ) \text {$\#$1}^2}{c g^3 \text {$\#$1}^6-3 c d g^3 \text {$\#$1}^4-3 c e f g^2 \text {$\#$1}^4+3 c d^2 g^3 \text {$\#$1}^2+8 a e^2 g^3 \text {$\#$1}^2+2 c d e f g^2 \text {$\#$1}^2+3 c e^2 f^2 g \text {$\#$1}^2-c e^3 f^3-c d^3 g^3+c d^2 e f g^2+c d e^2 f^2 g}\&\right ] \end {gather*}

Antiderivative was successfully verified.

[In]

IntegrateAlgebraic[Sqrt[f + g*x]/(Sqrt[d + e*x]*(a + c*x^2)),x]

[Out]

(e^2*f^2*Sqrt[e/g]*g^2 - 2*d*e*f*Sqrt[e/g]*g^3 + d^2*Sqrt[e/g]*g^4)*RootSum[c*e^4*f^4 - 4*c*d*e^3*f^3*g + 6*c*
d^2*e^2*f^2*g^2 - 4*c*d^3*e*f*g^3 + c*d^4*g^4 - 4*c*e^3*f^3*g*#1^2 + 4*c*d*e^2*f^2*g^2*#1^2 + 4*c*d^2*e*f*g^3*
#1^2 - 4*c*d^3*g^4*#1^2 + 6*c*e^2*f^2*g^2*#1^4 + 4*c*d*e*f*g^3*#1^4 + 6*c*d^2*g^4*#1^4 + 16*a*e^2*g^4*#1^4 - 4
*c*e*f*g^3*#1^6 - 4*c*d*g^4*#1^6 + c*g^4*#1^8 & , Log[-(Sqrt[e/g]*Sqrt[f + g*x]) + Sqrt[d - (e*f)/g + (e*(f +
g*x))/g] - #1]/(c*e^3*f^3 - c*d*e^2*f^2*g - c*d^2*e*f*g^2 + c*d^3*g^3 - 3*c*e^2*f^2*g*#1^2 - 2*c*d*e*f*g^2*#1^
2 - 3*c*d^2*g^3*#1^2 - 8*a*e^2*g^3*#1^2 + 3*c*e*f*g^2*#1^4 + 3*c*d*g^3*#1^4 - c*g^3*#1^6) & ] - 2*(e*f*Sqrt[e/
g]*g^3 - d*Sqrt[e/g]*g^4)*RootSum[c*e^4*f^4 - 4*c*d*e^3*f^3*g + 6*c*d^2*e^2*f^2*g^2 - 4*c*d^3*e*f*g^3 + c*d^4*
g^4 - 4*c*e^3*f^3*g*#1^2 + 4*c*d*e^2*f^2*g^2*#1^2 + 4*c*d^2*e*f*g^3*#1^2 - 4*c*d^3*g^4*#1^2 + 6*c*e^2*f^2*g^2*
#1^4 + 4*c*d*e*f*g^3*#1^4 + 6*c*d^2*g^4*#1^4 + 16*a*e^2*g^4*#1^4 - 4*c*e*f*g^3*#1^6 - 4*c*d*g^4*#1^6 + c*g^4*#
1^8 & , (Log[-(Sqrt[e/g]*Sqrt[f + g*x]) + Sqrt[d - (e*f)/g + (e*(f + g*x))/g] - #1]*#1^2)/(-(c*e^3*f^3) + c*d*
e^2*f^2*g + c*d^2*e*f*g^2 - c*d^3*g^3 + 3*c*e^2*f^2*g*#1^2 + 2*c*d*e*f*g^2*#1^2 + 3*c*d^2*g^3*#1^2 + 8*a*e^2*g
^3*#1^2 - 3*c*e*f*g^2*#1^4 - 3*c*d*g^3*#1^4 + c*g^3*#1^6) & ] - Sqrt[e/g]*g^4*RootSum[c*e^4*f^4 - 4*c*d*e^3*f^
3*g + 6*c*d^2*e^2*f^2*g^2 - 4*c*d^3*e*f*g^3 + c*d^4*g^4 - 4*c*e^3*f^3*g*#1^2 + 4*c*d*e^2*f^2*g^2*#1^2 + 4*c*d^
2*e*f*g^3*#1^2 - 4*c*d^3*g^4*#1^2 + 6*c*e^2*f^2*g^2*#1^4 + 4*c*d*e*f*g^3*#1^4 + 6*c*d^2*g^4*#1^4 + 16*a*e^2*g^
4*#1^4 - 4*c*e*f*g^3*#1^6 - 4*c*d*g^4*#1^6 + c*g^4*#1^8 & , (Log[-(Sqrt[e/g]*Sqrt[f + g*x]) + Sqrt[d - (e*f)/g
+ (e*(f + g*x))/g] - #1]*#1^4)/(-(c*e^3*f^3) + c*d*e^2*f^2*g + c*d^2*e*f*g^2 - c*d^3*g^3 + 3*c*e^2*f^2*g*#1^2
+ 2*c*d*e*f*g^2*#1^2 + 3*c*d^2*g^3*#1^2 + 8*a*e^2*g^3*#1^2 - 3*c*e*f*g^2*#1^4 - 3*c*d*g^3*#1^4 + c*g^3*#1^6)
& ]

________________________________________________________________________________________

fricas [B]  time = 10.39, size = 1921, normalized size = 8.00

result too large to display

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((g*x+f)^(1/2)/(e*x+d)^(1/2)/(c*x^2+a),x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/4*sqrt(-(c*d*f + a*e*g + (a*c^2*d^2 + a^2*c*e^2)*sqrt(-(e^2*f^2 - 2*d*e*f*g + d^2*g^2)/(a*c^3*d^4 + 2*a^2*c
^2*d^2*e^2 + a^3*c*e^4)))/(a*c^2*d^2 + a^2*c*e^2))*log(-(e^2*f^2 - d^2*g^2 + 2*(c*d*e*f - c*d^2*g - (a*c^2*d^2
*e + a^2*c*e^3)*sqrt(-(e^2*f^2 - 2*d*e*f*g + d^2*g^2)/(a*c^3*d^4 + 2*a^2*c^2*d^2*e^2 + a^3*c*e^4)))*sqrt(e*x +
d)*sqrt(g*x + f)*sqrt(-(c*d*f + a*e*g + (a*c^2*d^2 + a^2*c*e^2)*sqrt(-(e^2*f^2 - 2*d*e*f*g + d^2*g^2)/(a*c^3*
d^4 + 2*a^2*c^2*d^2*e^2 + a^3*c*e^4)))/(a*c^2*d^2 + a^2*c*e^2)) + 2*(e^2*f*g - d*e*g^2)*x + (2*(c^2*d^3 + a*c*
d*e^2)*f + ((c^2*d^2*e + a*c*e^3)*f + (c^2*d^3 + a*c*d*e^2)*g)*x)*sqrt(-(e^2*f^2 - 2*d*e*f*g + d^2*g^2)/(a*c^3
*d^4 + 2*a^2*c^2*d^2*e^2 + a^3*c*e^4)))/x) + 1/4*sqrt(-(c*d*f + a*e*g + (a*c^2*d^2 + a^2*c*e^2)*sqrt(-(e^2*f^2
- 2*d*e*f*g + d^2*g^2)/(a*c^3*d^4 + 2*a^2*c^2*d^2*e^2 + a^3*c*e^4)))/(a*c^2*d^2 + a^2*c*e^2))*log(-(e^2*f^2 -
d^2*g^2 - 2*(c*d*e*f - c*d^2*g - (a*c^2*d^2*e + a^2*c*e^3)*sqrt(-(e^2*f^2 - 2*d*e*f*g + d^2*g^2)/(a*c^3*d^4 +
2*a^2*c^2*d^2*e^2 + a^3*c*e^4)))*sqrt(e*x + d)*sqrt(g*x + f)*sqrt(-(c*d*f + a*e*g + (a*c^2*d^2 + a^2*c*e^2)*s
qrt(-(e^2*f^2 - 2*d*e*f*g + d^2*g^2)/(a*c^3*d^4 + 2*a^2*c^2*d^2*e^2 + a^3*c*e^4)))/(a*c^2*d^2 + a^2*c*e^2)) +
2*(e^2*f*g - d*e*g^2)*x + (2*(c^2*d^3 + a*c*d*e^2)*f + ((c^2*d^2*e + a*c*e^3)*f + (c^2*d^3 + a*c*d*e^2)*g)*x)*
sqrt(-(e^2*f^2 - 2*d*e*f*g + d^2*g^2)/(a*c^3*d^4 + 2*a^2*c^2*d^2*e^2 + a^3*c*e^4)))/x) - 1/4*sqrt(-(c*d*f + a*
e*g - (a*c^2*d^2 + a^2*c*e^2)*sqrt(-(e^2*f^2 - 2*d*e*f*g + d^2*g^2)/(a*c^3*d^4 + 2*a^2*c^2*d^2*e^2 + a^3*c*e^4
)))/(a*c^2*d^2 + a^2*c*e^2))*log(-(e^2*f^2 - d^2*g^2 + 2*(c*d*e*f - c*d^2*g + (a*c^2*d^2*e + a^2*c*e^3)*sqrt(-
(e^2*f^2 - 2*d*e*f*g + d^2*g^2)/(a*c^3*d^4 + 2*a^2*c^2*d^2*e^2 + a^3*c*e^4)))*sqrt(e*x + d)*sqrt(g*x + f)*sqrt
(-(c*d*f + a*e*g - (a*c^2*d^2 + a^2*c*e^2)*sqrt(-(e^2*f^2 - 2*d*e*f*g + d^2*g^2)/(a*c^3*d^4 + 2*a^2*c^2*d^2*e^
2 + a^3*c*e^4)))/(a*c^2*d^2 + a^2*c*e^2)) + 2*(e^2*f*g - d*e*g^2)*x - (2*(c^2*d^3 + a*c*d*e^2)*f + ((c^2*d^2*e
+ a*c*e^3)*f + (c^2*d^3 + a*c*d*e^2)*g)*x)*sqrt(-(e^2*f^2 - 2*d*e*f*g + d^2*g^2)/(a*c^3*d^4 + 2*a^2*c^2*d^2*e
^2 + a^3*c*e^4)))/x) + 1/4*sqrt(-(c*d*f + a*e*g - (a*c^2*d^2 + a^2*c*e^2)*sqrt(-(e^2*f^2 - 2*d*e*f*g + d^2*g^2
)/(a*c^3*d^4 + 2*a^2*c^2*d^2*e^2 + a^3*c*e^4)))/(a*c^2*d^2 + a^2*c*e^2))*log(-(e^2*f^2 - d^2*g^2 - 2*(c*d*e*f
- c*d^2*g + (a*c^2*d^2*e + a^2*c*e^3)*sqrt(-(e^2*f^2 - 2*d*e*f*g + d^2*g^2)/(a*c^3*d^4 + 2*a^2*c^2*d^2*e^2 + a
^3*c*e^4)))*sqrt(e*x + d)*sqrt(g*x + f)*sqrt(-(c*d*f + a*e*g - (a*c^2*d^2 + a^2*c*e^2)*sqrt(-(e^2*f^2 - 2*d*e*
f*g + d^2*g^2)/(a*c^3*d^4 + 2*a^2*c^2*d^2*e^2 + a^3*c*e^4)))/(a*c^2*d^2 + a^2*c*e^2)) + 2*(e^2*f*g - d*e*g^2)*
x - (2*(c^2*d^3 + a*c*d*e^2)*f + ((c^2*d^2*e + a*c*e^3)*f + (c^2*d^3 + a*c*d*e^2)*g)*x)*sqrt(-(e^2*f^2 - 2*d*e
*f*g + d^2*g^2)/(a*c^3*d^4 + 2*a^2*c^2*d^2*e^2 + a^3*c*e^4)))/x)

________________________________________________________________________________________

giac [F(-2)]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \text {Exception raised: TypeError} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((g*x+f)^(1/2)/(e*x+d)^(1/2)/(c*x^2+a),x, algorithm="giac")

[Out]

Exception raised: TypeError >> An error occurred running a Giac command:INPUT:sage2:=int(sage0,x):;OUTPUT:Warn
ing, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.Non regular val
ue [0,0] was discarded and replaced randomly by 0=[62,91]Warning, need to choose a branch for the root of a po
lynomial with parameters. This might be wrong.Non regular value [0,0] was discarded and replaced randomly by 0
=[44,-43]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.No
n regular value [0,0] was discarded and replaced randomly by 0=[-18,-31]Precision problem choosing root in com
mon_EXT, current precision 14Warning, choosing root of [1,0,%%%{2,[1,1]%%%}+%%%{-2,[0,1]%%%},0,%%%{1,[2,2]%%%}
+%%%{2,[1,2]%%%}+%%%{1,[0,2]%%%}] at parameters values [-27,26]Warning, choosing root of [1,0,%%%{2,[1,1]%%%}+
%%%{-2,[0,1]%%%},0,%%%{1,[2,2]%%%}+%%%{2,[1,2]%%%}+%%%{1,[0,2]%%%}] at parameters values [-89,63]Warning, need
to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.Non regular value [0,0]
was discarded and replaced randomly by 0=[-59,-77]Precision problem choosing root in common_EXT, current preci
sion 14Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.Non
regular value [0,0] was discarded and replaced randomly by 0=[-37,-94]Warning, need to choose a branch for the
root of a polynomial with parameters. This might be wrong.Non regular value [0,0] was discarded and replaced
randomly by 0=[-32,97]Warning, choosing root of [1,0,%%%{2,[1,1]%%%}+%%%{2,[1,0]%%%},0,%%%{1,[2,2]%%%}+%%%{-2,
[2,1]%%%}+%%%{1,[2,0]%%%}] at parameters values [-82.3579015951,0]Warning, choosing root of [1,0,%%%{2,[1,1]%%
%}+%%%{2,[1,0]%%%},0,%%%{1,[2,2]%%%}+%%%{-2,[2,1]%%%}+%%%{1,[2,0]%%%}] at parameters values [-29.292030761,22]
Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.Non regular
value [0,0] was discarded and replaced randomly by 0=[2,-99]Warning, need to choose a branch for the root of
a polynomial with parameters. This might be wrong.Non regular value [0,0] was discarded and replaced randomly
by 0=[-13,69]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wron
g.Non regular value [0,0] was discarded and replaced randomly by 0=[-55,-78]Warning, choosing root of [1,0,%%%
{2,[1,1]%%%}+%%%{2,[1,0]%%%},0,%%%{1,[2,2]%%%}+%%%{-2,[2,1]%%%}+%%%{1,[2,0]%%%}] at parameters values [-57.037
1161718,0]Warning, choosing root of [1,0,%%%{2,[1,1]%%%}+%%%{2,[1,0]%%%},0,%%%{1,[2,2]%%%}+%%%{-2,[2,1]%%%}+%%
%{1,[2,0]%%%}] at parameters values [-53.6704242053,49]Warning, need to choose a branch for the root of a poly
nomial with parameters. This might be wrong.Non regular value [0,0] was discarded and replaced randomly by 0=[
-20,-31]Precision problem choosing root in common_EXT, current precision 14Warning, need to choose a branch fo
r the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.Non regular value [0,0] was discarded and repl
aced randomly by 0=[-67,8]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This
might be wrong.Non regular value [0,0] was discarded and replaced randomly by 0=[-69,98]Warning, choosing root
of [1,0,%%%{2,[1,1]%%%}+%%%{2,[1,0]%%%},0,%%%{1,[2,2]%%%}+%%%{-2,[2,1]%%%}+%%%{1,[2,0]%%%}] at parameters val
ues [-41.1343540126,0]Warning, choosing root of [1,0,%%%{2,[1,1]%%%}+%%%{2,[1,0]%%%},0,%%%{1,[2,2]%%%}+%%%{-2,
[2,1]%%%}+%%%{1,[2,0]%%%}] at parameters values [-46.2420096635,-70]Warning, need to choose a branch for the r
oot of a polynomial with parameters. This might be wrong.Non regular value [0,0] was discarded and replaced ra
ndomly by 0=[-53,73]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might
be wrong.Non regular value [0,0] was discarded and replaced randomly by 0=[-78,50]Warning, need to choose a br
anch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.Non regular value [0,0] was discarded a
nd replaced randomly by 0=[-61,27]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameter
s. This might be wrong.Non regular value [0,0] was discarded and replaced randomly by 0=[-18,-4]Warning, need
to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.Non regular value [0,0] w
as discarded and replaced randomly by 0=[15,-93]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial
with parameters. This might be wrong.Non regular value [0,0] was discarded and replaced randomly by 0=[97,57]W
arning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.Non regular
value [0,0] was discarded and replaced randomly by 0=[70,-37]Warning, need to choose a branch for the root of
a polynomial with parameters. This might be wrong.Non regular value [0,0] was discarded and replaced randomly
by 0=[8,40]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.
Non regular value [0,0] was discarded and replaced randomly by 0=[10,9]Warning, need to choose a branch for th
e root of a polynomial with parameters. This might be wrong.Non regular value [0,0] was discarded and replaced
randomly by 0=[85,-92]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This mig
ht be wrong.Non regular value [0,0] was discarded and replaced randomly by 0=[-83,95]Warning, choosing root of
[1,0,%%%{2,[1,1]%%%}+%%%{2,[1,0]%%%},0,%%%{1,[2,2]%%%}+%%%{-2,[2,1]%%%}+%%%{1,[2,0]%%%}] at parameters values
[-49.3556851153,0]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might b
e wrong.Non regular value [0,0] was discarded and replaced randomly by 0=[66,42]Warning, need to choose a bran
ch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.Non regular value [0,0] was discarded and
replaced randomly by 0=[20,-21]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters.
This might be wrong.Non regular value [0,0] was discarded and replaced randomly by 0=[13,-34]Warning, choosin
g root of [1,0,%%%{2,[1,1]%%%}+%%%{2,[1,0]%%%},0,%%%{1,[2,2]%%%}+%%%{-2,[2,1]%%%}+%%%{1,[2,0]%%%}] at paramete
rs values [-90.5690937298,0]Warning, choosing root of [1,0,%%%{2,[1,1]%%%}+%%%{2,[1,0]%%%},0,%%%{1,[2,2]%%%}+%
%%{-2,[2,1]%%%}+%%%{1,[2,0]%%%}] at parameters values [-36.6004387327,-85]Warning, need to choose a branch for
the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.Non regular value [0,0] was discarded and repla
ced randomly by 0=[99,-89]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This
might be wrong.Non regular value [0,0] was discarded and replaced randomly by 0=[2,-9]Warning, need to choose
a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.Non regular value [0,0] was discard
ed and replaced randomly by 0=[-74,46]Warning, choosing root of [1,0,%%%{2,[1,1]%%%}+%%%{2,[1,0]%%%},0,%%%{1,[
2,2]%%%}+%%%{-2,[2,1]%%%}+%%%{1,[2,0]%%%}] at parameters values [-4.22288109735,0]Warning, choosing root of [1
,0,%%%{2,[1,1]%%%}+%%%{2,[1,0]%%%},0,%%%{1,[2,2]%%%}+%%%{-2,[2,1]%%%}+%%%{1,[2,0]%%%}] at parameters values [-
6.87379696826,-21]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be
wrong.Non regular value [0,0] was discarded and replaced randomly by 0=[-35,-95]Warning, need to choose a bra
nch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.Non regular value [0,0] was discarded an
d replaced randomly by 0=[-9,27]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters.
This might be wrong.Non regular value [0,0] was discarded and replaced randomly by 0=[-19,90]Warning, need to
choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.Non regular value [0,0] was
discarded and replaced randomly by 0=[2,-39]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial wit
h parameters. This might be wrong.Non regular value [0,0] was discarded and replaced randomly by 0=[55,-73]War
ning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.Non regular va
lue [0,0] was discarded and replaced randomly by 0=[61,1]Warning, need to choose a branch for the root of a po
lynomial with parameters. This might be wrong.Non regular value [0,0] was discarded and replaced randomly by 0
=[10,40]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.Non
regular value [0,0] was discarded and replaced randomly by 0=[83,49]Warning, need to choose a branch for the
root of a polynomial with parameters. This might be wrong.Non regular value [0,0] was discarded and replaced r
andomly by 0=[1,-81]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters. This might
be wrong.Non regular value [0,0] was discarded and replaced randomly by 0=[76,-13]Warning, need to choose a br
anch for the root of a polynomial with parameters. This might be wrong.Non regular value [0,0] was discarded a
nd replaced randomly by 0=[45,19]Warning, need to choose a branch for the root of a polynomial with parameters
. This might be wrong.Non regular value [0,0] was discarded and replaced randomly by 0=[37,-12]Evaluation time
: 4.14index.cc index_m operator + Error: Bad Argument Value

________________________________________________________________________________________

maple [B]  time = 0.04, size = 1383, normalized size = 5.76

result too large to display

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((g*x+f)^(1/2)/(e*x+d)^(1/2)/(c*x^2+a),x)

[Out]

-1/2*(g*x+f)^(1/2)*(e*x+d)^(1/2)*(ln((2*(-a*c)^(1/2)*e*g*x+c*d*g*x+c*e*f*x+(-a*c)^(1/2)*d*g+(-a*c)^(1/2)*e*f+2
*((e*x+d)*(g*x+f))^(1/2)*((-a*e*g+c*d*f+(-a*c)^(1/2)*d*g+(-a*c)^(1/2)*e*f)/c)^(1/2)*c+2*c*d*f)/(c*x-(-a*c)^(1/
2)))*a*c*e^2*f*(-(a*e*g-c*d*f+(-a*c)^(1/2)*d*g+(-a*c)^(1/2)*e*f)/c)^(1/2)+ln((2*(-a*c)^(1/2)*e*g*x+c*d*g*x+c*e
*f*x+(-a*c)^(1/2)*d*g+(-a*c)^(1/2)*e*f+2*((e*x+d)*(g*x+f))^(1/2)*((-a*e*g+c*d*f+(-a*c)^(1/2)*d*g+(-a*c)^(1/2)*
e*f)/c)^(1/2)*c+2*c*d*f)/(c*x-(-a*c)^(1/2)))*a*e^2*g*(-a*c)^(1/2)*(-(a*e*g-c*d*f+(-a*c)^(1/2)*d*g+(-a*c)^(1/2)
*e*f)/c)^(1/2)+ln((2*(-a*c)^(1/2)*e*g*x+c*d*g*x+c*e*f*x+(-a*c)^(1/2)*d*g+(-a*c)^(1/2)*e*f+2*((e*x+d)*(g*x+f))^
(1/2)*((-a*e*g+c*d*f+(-a*c)^(1/2)*d*g+(-a*c)^(1/2)*e*f)/c)^(1/2)*c+2*c*d*f)/(c*x-(-a*c)^(1/2)))*c^2*d^2*f*(-(a
*e*g-c*d*f+(-a*c)^(1/2)*d*g+(-a*c)^(1/2)*e*f)/c)^(1/2)+ln((2*(-a*c)^(1/2)*e*g*x+c*d*g*x+c*e*f*x+(-a*c)^(1/2)*d
*g+(-a*c)^(1/2)*e*f+2*((e*x+d)*(g*x+f))^(1/2)*((-a*e*g+c*d*f+(-a*c)^(1/2)*d*g+(-a*c)^(1/2)*e*f)/c)^(1/2)*c+2*c
*d*f)/(c*x-(-a*c)^(1/2)))*c*d^2*g*(-a*c)^(1/2)*(-(a*e*g-c*d*f+(-a*c)^(1/2)*d*g+(-a*c)^(1/2)*e*f)/c)^(1/2)-ln((
c*d*g*x+c*e*f*x-2*(-a*c)^(1/2)*e*g*x+2*c*d*f+2*((e*x+d)*(g*x+f))^(1/2)*(-(a*e*g-c*d*f+(-a*c)^(1/2)*d*g+(-a*c)^
(1/2)*e*f)/c)^(1/2)*c-(-a*c)^(1/2)*d*g-(-a*c)^(1/2)*e*f)/(c*x+(-a*c)^(1/2)))*a*c*e^2*f*((-a*e*g+c*d*f+(-a*c)^(
1/2)*d*g+(-a*c)^(1/2)*e*f)/c)^(1/2)+ln((c*d*g*x+c*e*f*x-2*(-a*c)^(1/2)*e*g*x+2*c*d*f+2*((e*x+d)*(g*x+f))^(1/2)
*(-(a*e*g-c*d*f+(-a*c)^(1/2)*d*g+(-a*c)^(1/2)*e*f)/c)^(1/2)*c-(-a*c)^(1/2)*d*g-(-a*c)^(1/2)*e*f)/(c*x+(-a*c)^(
1/2)))*a*e^2*g*((-a*e*g+c*d*f+(-a*c)^(1/2)*d*g+(-a*c)^(1/2)*e*f)/c)^(1/2)*(-a*c)^(1/2)-ln((c*d*g*x+c*e*f*x-2*(
-a*c)^(1/2)*e*g*x+2*c*d*f+2*((e*x+d)*(g*x+f))^(1/2)*(-(a*e*g-c*d*f+(-a*c)^(1/2)*d*g+(-a*c)^(1/2)*e*f)/c)^(1/2)
*c-(-a*c)^(1/2)*d*g-(-a*c)^(1/2)*e*f)/(c*x+(-a*c)^(1/2)))*c^2*d^2*f*((-a*e*g+c*d*f+(-a*c)^(1/2)*d*g+(-a*c)^(1/
2)*e*f)/c)^(1/2)+ln((c*d*g*x+c*e*f*x-2*(-a*c)^(1/2)*e*g*x+2*c*d*f+2*((e*x+d)*(g*x+f))^(1/2)*(-(a*e*g-c*d*f+(-a
*c)^(1/2)*d*g+(-a*c)^(1/2)*e*f)/c)^(1/2)*c-(-a*c)^(1/2)*d*g-(-a*c)^(1/2)*e*f)/(c*x+(-a*c)^(1/2)))*c*d^2*g*((-a
*e*g+c*d*f+(-a*c)^(1/2)*d*g+(-a*c)^(1/2)*e*f)/c)^(1/2)*(-a*c)^(1/2))/((e*x+d)*(g*x+f))^(1/2)/(c*d-(-a*c)^(1/2)
*e)/(-a*c)^(1/2)/(-(a*e*g-c*d*f+(-a*c)^(1/2)*d*g+(-a*c)^(1/2)*e*f)/c)^(1/2)/((-a*c)^(1/2)*e+c*d)/((-a*e*g+c*d*
f+(-a*c)^(1/2)*d*g+(-a*c)^(1/2)*e*f)/c)^(1/2)

________________________________________________________________________________________

maxima [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \int \frac {\sqrt {g x + f}}{{\left (c x^{2} + a\right )} \sqrt {e x + d}}\,{d x} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((g*x+f)^(1/2)/(e*x+d)^(1/2)/(c*x^2+a),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(sqrt(g*x + f)/((c*x^2 + a)*sqrt(e*x + d)), x)

________________________________________________________________________________________

mupad [F(-1)]  time = 0.00, size = -1, normalized size = -0.00 \begin {gather*} \text {Hanged} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((f + g*x)^(1/2)/((a + c*x^2)*(d + e*x)^(1/2)),x)

[Out]

\text{Hanged}

________________________________________________________________________________________

sympy [F]  time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \int \frac {\sqrt {f + g x}}{\left (a + c x^{2}\right ) \sqrt {d + e x}}\, dx \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((g*x+f)**(1/2)/(e*x+d)**(1/2)/(c*x**2+a),x)

[Out]

Integral(sqrt(f + g*x)/((a + c*x**2)*sqrt(d + e*x)), x)

________________________________________________________________________________________